Una viga de hormigón armado no se comporta como una barra de material homogéneo. Con las cargas normales de servicio se fisura, y al fisurarse pierde rigidez, así que una flecha calculada con la sección completa puede quedar muy por debajo de la que de verdad aparece en obra. Aquí hago el cálculo con los datos reales de la viga banda de 40 × 25 cm de nuestro plano estructural de la vivienda tipo del Conjunto Habitacional Belén I, de 4,87 m de luz, y comparo cuánto cambia la flecha según se use la inercia bruta o la efectiva.
Lo que dice el plano
Del plano estructural de la vivienda tipo tomo estos datos. La viga banda tiene 40 cm de ancho y 25 cm de alto, el mismo espesor que la losa alivianada de 25 cm (bloque de pómez de 20 cm más loseta de 5 cm). La luz entre ejes A y B es de 4,87 m. La armadura longitudinal es 6 Ø12 mm (3 arriba y 3 abajo) y los estribos son Ø10 mm @ 6 cm en el primer tercio de la luz, @ 12 cm en el tercio central y @ 6 cm en el último. El hormigón es f’c = 210 kg/cm² en losas y vigas, el acero fy = 4.200 kg/cm² y el recubrimiento mínimo en losas es de 2,5 cm. El ancho aportante a la viga del eje 2 sale de la losa de 3,20 m a un lado y de 3,65 m al otro: (3,20 + 3,65) / 2 = 3,425 m.
Algo que debo aclarar: no tengo a mano la carga real de la memoria de cálculo. Por eso no parto de una carga supuesta. Trato la carga w como la variable y calculo qué flecha produce cada valor.
Propiedades del hormigón
- f’c = 210 kg/cm² = 20,6 MPa.
- Módulo de elasticidad: Ec = 15.100 × √210 = 218.820 kg/cm² = 21.459 MPa (21,5 GPa).
- Relación modular con el acero (Es = 200.000 MPa): n = 200.000 / 21.459 = 9,32.
- Resistencia a tracción por flexión (módulo de rotura): fr = 2 × √210 = 29,0 kg/cm² = 2,84 MPa.
Cuándo se fisura
La inercia de la sección bruta, sin fisurar, es Ig = b·h³ / 12 = 40 × 25³ / 12 = 52.083 cm⁴. El momento que fisura la viga es el que lleva la fibra inferior hasta fr:
Mcr = fr × Ig / yt = 2,84 MPa × 52.083 cm⁴ / 12,5 cm = 11,84 kN·m
Si la viga estuviera simplemente apoyada, ese momento se alcanza con una carga uniforme w_cr = 8 × Mcr / L² = 8 × 11,84 / 4,87² = 4,0 kN/m. Y una referencia que ayuda a dimensionarlo: el peso propio de la viga es 0,40 × 0,25 × 24 kN/m³ = 2,4 kN/m, o sea que solo su peso ya es el 60 % de la carga que la fisura en ese modelo.
La sección fisurada
Cuando ya se fisuró, el hormigón en tracción deja de aportar y la rigidez la dan la zona comprimida y el acero. Los datos: d = 250 − 25 − 10 − 6 = 209 mm (recubrimiento de 25 mm, estribo Ø10 y media barra Ø12), d’ = 41 mm, As = A’s = 3 × 113,1 = 339,3 mm² y cuantía de compresión ρ’ = 339,3 / (400 × 209) = 0,00406.
La profundidad del eje neutro x, con acero en tracción y en compresión, sale de:
b·x² / 2 + (n − 1)·A’s·(x − d’) = n·As·(d − x)
Resolviendo, x = 49,1 mm, y la inercia fisurada es:
Icr = b·x³ / 3 + (n − 1)·A’s·(x − d’)² + n·As·(d − x)² = 9.682 cm⁴
Es decir, Icr = 18,6 % de Ig. La viga fisurada tiene menos de la quinta parte de la rigidez de la sección completa.
La inercia efectiva de Branson y la flecha
Entre los dos estados, el ACI 318 usa la inercia efectiva de Branson:
Ie = (Mcr / Ma)³ × Ig + [1 − (Mcr / Ma)³] × Icr
donde Ma es el momento máximo con la carga de servicio. La flecha inmediata en el centro de una viga simplemente apoyada con carga uniforme es Δ = 5·w·L⁴ / (384·Ec·I).
Un ejemplo con w = 5 kN/m (un valor para ilustrar, no la carga real):
- Momento: Ma = 5 × 4,87² / 8 = 14,82 kN·m, que es 1,25 veces Mcr, así que la viga ya está fisurada.
- (Mcr / Ma)³ = (11,84 / 14,82)³ = 0,510.
- Ie = 0,510 × 52.083 + 0,490 × 9.682 = 31.305 cm⁴.
- Flecha con la inercia bruta: Δ = 3,3 mm.
- Flecha con la inercia efectiva: Δ = 5,5 mm, un 66 % más.
- Flecha con la inercia fisurada completa: Δ = 17,6 mm (cota superior, demasiado pesimista).
La flecha a largo plazo
El hormigón bajo carga sostenida se sigue deformando por fluencia (creep). El ACI lo cubre con λ = ξ / (1 + 50·ρ’), con ξ = 2,0 para cargas de cinco años o más:
λ = 2,0 / (1 + 50 × 0,00406) = 1,66
La flecha total es la inmediata más λ veces la inmediata de la parte sostenida. Si toda la carga fuera sostenida, con w = 5 kN/m: Δ total = 5,5 × (1 + 1,66) = 14,5 mm.
Cuánto cambia con la carga
Repito el cálculo para distintos valores de w en la viga simplemente apoyada de 4,87 m (w es la variable, no una carga de diseño):
- w = 3 kN/m (por debajo de fisuración): Ig = Ie, Δ = 2,0 mm; a largo plazo 5,2 mm.
- w = 4 kN/m (justo en fisuración): Δ = 2,6 mm; a largo plazo 7,0 mm.
- w = 5 kN/m: con Ig 3,3 mm, con Ie 5,5 mm (1,7 veces); a largo plazo 14,5 mm.
- w = 6 kN/m: con Ig 3,9 mm, con Ie 9,2 mm (2,4 veces); a largo plazo 24,6 mm.
- w = 7 kN/m: con Ig 4,6 mm, con Ie 13,6 mm (3,0 veces); a largo plazo 36,2 mm.
- w = 8 kN/m: con Ig 5,2 mm, con Ie 18,3 mm (3,5 veces); a largo plazo 48,6 mm.
Para comparar, las flechas máximas de referencia del ACI 318 son L/480 = 10,1 mm (elementos ligados a paredes que se dañan con la flecha, como la mampostería), L/360 = 13,5 mm (carga viva inmediata en pisos) y L/240 = 20,3 mm (elementos sin ese riesgo). Lo importante está a la vista: pasado el momento de fisuración, la flecha deja de crecer en proporción a la carga y se acelera, y calcular con la inercia bruta subestima la flecha hasta 3,5 veces en este rango.
¿Qué manda, la resistencia o la flecha?
El momento resistente de la viga con 3 Ø12 abajo es: a = As·fy / (0,85·f’c·b) = 339,3 × 411,9 / (0,85 × 20,59 × 400) = 20,0 mm; Mn = As·fy·(d − a/2) = 27,8 kN·m, y con φ = 0,9, φMn = 25,0 kN·m. En el modelo simplemente apoyado, eso corresponde a una carga mayorada de 8 × 25,0 / 4,87² = 8,4 kN/m, y con el factor simplificado de 1,4 (una simplificación mía), a una carga de servicio de unos 6,0 kN/m.
A 6,0 kN/m la flecha inmediata es 9,2 mm, por debajo de L/480. Pero la flecha a largo plazo es 24,6 mm, mayor que L/240 = 20,3 mm. O sea que, con carga sostenida y en el modelo simplemente apoyado, la flecha diferida se pasa de su límite antes de que la viga llegue a su resistencia a flexión.
Una cota, no la realidad
Todo lo anterior supone la viga simplemente apoyada, que es la hipótesis más pesimista para la flecha. En una estructura real la viga banda forma pórtico con las columnas, y la continuidad con los apoyos reduce el momento positivo (a wL²/24 con empotramiento perfecto) y la flecha elástica baja a una quinta parte de la simplemente apoyada (wL⁴/384EI contra 5wL⁴/384EI). El peso propio de la viga ya es 2,4 kN/m y la losa aporta más sobre un ancho aportante de 3,425 m, así que es de esperar que la viga trabaje apoyada en esa continuidad y en el acero superior de los apoyos. Por eso este cálculo no dice que la viga del plano falle. Dice cómo se comporta la flecha con la carga, por qué hay que calcularla con la inercia efectiva y qué tan sensible es a las condiciones de apoyo.
Lo que este cálculo no incluye
No usé la carga real de la memoria de cálculo, ni las condiciones de continuidad del pórtico, ni la armadura superior de los apoyos. El recubrimiento de 2,5 cm es el que el plano indica para losas, y el diámetro del estribo Ø10 es el del detalle. La relación modular, la inercia efectiva de Branson y el factor de largo plazo son los del ACI 318 (el plano cita ACI 318-05 y NEC-SE-DS). Los valores de w son los de una variable, no una carga de diseño.
Lo que pienso
La flecha es el cálculo que más se saltan cuando una viga «cumple por resistencia». Me parece un error cómodo y bastante común: la viga no se cae, así que se da por buena, y meses después aparecen las fisuras en la mampostería de abajo. Los números de arriba lo dicen claro. En nuestra viga de 4,87 m, pasar de la inercia bruta a la efectiva multiplica la flecha por 1,7 a 3,5 según la carga, y la fluencia la multiplica casi por 2,7.
Mi regla es simple: verificar siempre la flecha con Ie y con el factor de largo plazo, y no dejarlo para cuando ya hay paredes pegadas a la viga. Y desconfío de los cálculos que no dicen cómo se apoya la viga, porque de eso depende cuánto de esta flecha va a aparecer en la obra y cuánto no.